لکیری الجبرا/باب 5

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

اندرونی حاصل ضرب فضاء

اردو اصطلاح	English term
اندرونی حاصل ضرب اندرونی حاصل ضرب فضاء	Inner product Inner product space

ایسی لکیری فضا (سمتیہ فضاء) جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف کیا ہؤا ہو، کو اندرونی حاصل ضرب فضا کہتے ہیں۔

تعریف: اندرونی حاصل ضرب

"اندرونی حاصل ضرب" ایک دالہ ہے، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ u اور v کے جوڑے کے ساتھ ایک اصلی عدد $\langle u,v\rangle$ کی نسبت اسطرح جوڑتی ہے، کہ نیچے دیے قواعد پورے ہوں۔ یہاں u, v, w سمتیہ ہیں، اور $\alpha$ ایک سکیلر (تمام اعداد میدان $\mathbb {R}$ پر ہیں)

1. $\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle$      متناظر
2. $\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$      جمع
3. $\langle \alpha u,v\rangle =\alpha \langle v,u\rangle$      ہم جنسیت
4. $\langle u,u\rangle \geq 0$      مثبت ہونا
5. $\langle u,u\rangle =0\iff u=0$      "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو گی، اگر بشرطِ اگر، جب سمتیہ خود صفر ہو۔

اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب"

اردو اصطلاح	English term
اقلیدسی فضاء	Euclidean space

اقلیدس سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{n}$ پر سمتیہ $\mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]$ اور سمتیہ $\mathbf {v} =\left[{\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{matrix}}\right]$ کے درمیان ایک

• "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کیا جا سکتا ہے:

$\ \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{t}\mathbf {v} =u_{0}v_{0}+u_{1}v_{1}+\cdots +u_{n-1}v_{n-1}$

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں t پلٹ کو ظاہر کرتا ہے۔)

• اس اندرونی ضرب کی زیادہ عام صورت اس طرح تعریف کی جاتی ہے۔ اگر A ایک مقلوب مصفوفہ ہو، تو "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کرتے ہیں:

$\ \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={(A\mathbf {u} )}^{t}A\mathbf {v} ={\mathbf {u} }^{t}A^{t}A\mathbf {v}$

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ یاد رہے کہ مصفوفہ ضرب لکیری استحالہ بناتی ہے۔ اس مساوات کو ہم یوں لکھتے ہیں

$\ \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\mathbf {u} }^{t}R\mathbf {v} \,,\,\,\,R=A^{t}A$

یہ زور دینے کے لیے کہ R ایک متناظر مصفوفہ ہے۔

فضا میں سمتیہ کی لمبائی

لکیری فضا $\ V$ میں ایک سمتیہ $\mathbf {v}$ کی لمبائی کو $\ \|\mathbf {v} \|$ لکھتے ہیں، اور یہ سمتیہ کا اپنے ساتھ "اندرونی حاصل ضرب" کے جزر سے یوں تعریف کی جاتی ہے:

$\|\mathbf {v} \|={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}$

سمتیہ کی لمبائی کو سمتیہ کا اُمثولہ بھی کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے سمتیہ کی norm کہتے ہیں۔

اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{n}$ میں سمتیہ کی لمبائی کی تعریف یوں ہو جائے گی (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

$\|\mathbf {u} \|={\sqrt {{u_{0}}^{2}+{u_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n-1}}^{2}}}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ (Euclidean geometry) میں لمبائی کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "لمبائی" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

فضا میں فاصلہ

لکیری فضا میں دو سمتیوں $\mathbf {u}$ اور $\mathbf {v}$ (فضا میں دو نقطوں) کے درمیان فاصلہ $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ یوں تعریف کیا جاتا ہے:

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\|\mathbf {u-v} \|$

اقلیدسی فضا میں فاصلہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{n}$ میں فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\sqrt {{(u_{0}-v_{0})}^{2}+{(u_{1}-v_{1})}^{2}+\cdots +{(u_{n-1}-v_{n-1})}^{2}}}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نقطوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

"اندرونی حاصل ضرب" کی مذید خصوصیات

"اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف سے کچھ مزید خصوصیات اخذ کی جا سکتی ہیں ($\mathbf {u}$ ، $\mathbf {v}$ ، اور $\mathbf {r}$، سمتیہ ہیں، جبکہ $\ k$ ایک سکیلر):

1. $\langle \mathbf {0} ,\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {0} \rangle =\mathbf {0}$
2. $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v+r} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {u} ,\mathbf {r} \rangle$
3. $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {\alpha v} \rangle =\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$
4. $\langle \mathbf {u-v} ,\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {r} \rangle -\langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle$
5. $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v-r} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {r} \rangle$

قائم الزاویہ

اردو اصطلاح	English term
قائم الزاویہ	Orthogonal

دو سمتیہ $\mathbf {u}$ اور $\mathbf {v}$ کو قائم الزاویہ کہا جائے گا اگر ان کا "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، یعنی

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {0}$

اگر سمتیہ $\mathbf {u}$ کا مجموعہ $\ S$ میں تمام سمتیوں سے "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، تو سمتیہ $\mathbf {u}$ کو مجموعہ $\ S$ سے قائم الزاویہ کہا جاتا ہے۔

"فیثاغورث" مسلئہ اثباتی

تصویر میں فضا $\mathbb {R} ^{2}$ کی مثال

اگر سمتیہ $\ u$ اور $\ v$ قائم الزاویہ ہوں، یعنی

$\langle u,v\rangle =0$

تو:

${\|u\|}^{2}+{\|v\|}^{2}={\|u+v\|}^{2}$

قائم امثول

اردو اصطلاح	English term
قائم امثول	Orthonormal

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" پر سمتیہ مجموعہ $\{v_{i}\}$، جس میں ہر سمتیہ دوسرے سے قائیم الزاویہ ہو، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو، ایسے سمتیہ مجموعہ کو قائم امثول بولتے ہیں۔ یعنی

$\langle v_{i},v_{j}\rangle =0\,\,,i\neq j$

اور

$\langle v_{i},v_{i}\rangle =1$

جسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے

$\|v_{i}\|=1$

"قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر $\ S=\{v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$ اگر ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو اس فضا کے کسی سمتیہ $\ u$ کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\ u=\langle u,v_{0}\rangle v_{0}+\langle u,v_{1}\rangle v_{1}+\cdots \langle u,v_{n-1}\rangle v_{n-1}$

یعنی سمتیہ u کی صورت اس بنیاد سمتیہ مجموعہ S کے حوالے سے n اعداد سے ظاہر کی جاتی ہے، جسے (یعنی n اعداد کو) ہم مصفوفہ کے بطور یوں لکھ سکتے ہیں:

$\ u=\left[{\begin{matrix}\langle u,v_{0}\rangle \\\langle u,v_{1}\rangle \\\vdots \\\langle u,v_{n-1}\rangle \end{matrix}}\right]$

$\mathbb {R} ^{n}$ فضا میں "قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ مجموعہ" کے حوالے سے فضا کے کسی سمتیہ کی صورت نکالنے کا طریقہ ہم دیکھ چکے ہیں۔ اس مسئلہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے طریقہ بتاتا ہے۔ یہ بھی خیال رہے کہ اگر بنیاد سمتیہ مجموعہ قائم الزاویہ نہ ہو تو صورت نکالنے کے طریقہ میں یکلخت لکیری مساوات کا حل نکالنے کی دشواری کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔

مسلئہ اثباتی

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا"، جس کا بُعد n ہو۔ اس فضا پر $\ S=\{v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$ ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔ اس فضا کے کسی سمتیہ $\ \mathbf {u}$ اور $\ \mathbf {w}$ کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا گیا ہو:

$\mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]\,,\,\,\mathbf {w} =\left[{\begin{matrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{n-1}\end{matrix}}\right]\,,$

تو سمتیہ کے امثولہ، فاصلہ، اور "اندرونی حاصل ضرب" کو یوں دیا جاتا ہے:

$\|\mathbf {u} \|={\sqrt {\mathbf {u} ^{t}\mathbf {u} }}={\sqrt {u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+\cdots +u_{n-1}^{2}}}$

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )={\sqrt {{(\mathbf {u-w} )}^{t}(\mathbf {u-w} )}}={\sqrt {{(u_{0}-w_{0})}^{2}+{(u_{1}-w_{1})}^{2}+\cdots +{(u_{n-1}-w_{n-1})}^{2}}}$

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {u} ^{t}\mathbf {w} =u_{0}w_{0}+u_{1}w_{1}+\cdots +u_{n-1}w_{n-1}$

اس مسئلہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ $\mathbb {R} ^{n}$ فضا جیسے خوبصورت نتائج کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے عام کرتا ہے۔

مسلئہ اثباتی

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر مجموعہ $\ S=\{v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$ میں تمام n غیر صفر سمتیہ "قائم امثول" ہوں (تمام سمتیہ ایک دوسرے کے ساتھ قائم الزاویہ ہوں، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو)، تو

یہ سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد ہو گا۔

قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ (مسلئہ اثباتی)

لکیری فضا، جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو، اور اس کا بُعد متناہی ہو۔ ایسی لکیری فضا میں "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" ہمیشہ موجود ہوتا ہے۔

ایک "بنیاد سمتیہ مجموعہ" سے "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" گرام شمٹ طریقہ سے نکالا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ میں مسقط (نیچے دیکھو) کی مدد سے مجموعہ سے قائم امثول مجموعہ کشید کیا جاتا ہے۔

مسقط

اردو اصطلاح	English term
مسقط تقرب	Projection Approximation

مسقط مسلئہ اثباتی

اگر U کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو V کے کسی بھی سمتیہ v کو صرف ایک منفرد صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\ v=u+b$

جبکہ سمتیہ u "ذیلی فضا" U میں ہو، اور سمتیہ b "ذیلی فضا" U کے قائم الزاویہ ہو۔ اب سمتیہ u کو سمتیہ v کا مسقط (projection) کہا جاتا ہے۔

تصویر میں $\mathbb {R} ^{3}$ فضا میں سمتیہ v دکھایا گیا ہے۔ (اس فضا کو ہندسہ میں معکب XYZ کہا جا سکتا ہے۔) اس سمتیہ کا مسقط سمتیہ u ہے، جو کہ فضا $\mathbb {R} ^{2}$ (ہندسہ میں XY مستوی) میں ہے۔ غور کرو کہ سمتیہ u اور سمتیہ b ایک دوسرے سے نوے درجہ کے زاویہ (قائم الزاویہ) پر ہیں۔ دراصل سمتیہ b اور مستوی XY آپس میں قائم الزاویہ ہیں (یعنی سمتیہ b ، مستوی XY میں کسی بھی سمتیہ سے نوے درجہ کا زاویہ بناتا ہے) ۔ سمتیہ b کو اکثر غلطی سمتیہ کہا جاتا ہے۔

مسلئہ اثباتی (بہترین تقرب)

اگر U کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو V کے کسی بھی سمتیہ v کا ذیلی فضا U میں مسقط ${\hbox{proj}}_{U}v$ ، سمتیہ v کا بہترین تقرب ہے، اس معنی میں کہ

$\|v-{\hbox{proj}}_{U}v\|<\|v-u\|$

جہاں u ذیلی فضا U کا کوئی بھی دوسرا سمتیہ ہے۔

یعنی مسقط کے "غلطی سمتیہ"

$e=\|v-{\hbox{proj}}_{U}v\|$

کا امثولہ سب سے کم ہو گا- یہ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ یہ غلطی سمتیہ e قائم الزاویہ ہوتا ہے ذیلی فضا U کے (یعنی U میں تمام سمتیوں کے)۔

"اندرونی حاصل ضرب" کی مدد سے ہم مسقط نکال سکتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا U ہو۔ اگر فضا U کے لیے $\{v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}\}$ ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو فضا V کے کسی بھی سمتیہ z کا مسقط ${\hbox{proj}}_{U}z$ ذیلی فضا U میں یوں نکالا جا سکتا ہے:

${\hbox{proj}}_{U}z=\langle z,v_{0}\rangle v_{0}+\langle z,v_{1}\rangle v_{1}+\cdots +\langle z,v_{n-1}\rangle v_{n-1}$

مثال: فضا $\mathbb {R} ^{3}$ میں سمتیہ $z=\left[{\begin{matrix}2\\2\\2\end{matrix}}\right]$

کا مستوی XY میں مسقط نکالتے ہیں۔ مستوی XY کے لیے $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right]\,,\,\,v_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right]$ ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہے۔ اب

$\langle z,v_{0}\rangle =z^{t}v_{0}=2$

$\langle z,v_{1}\rangle =z^{t}v_{1}=2$

${\hbox{proj}}_{\{XYplane\}}z=2v_{0}+2v_{1}=\left[{\begin{matrix}2\\2\\0\end{matrix}}\right]$

اور دیکھو

• W:ur:کاشی شوارز نامساوات

$E=mc^{2}$     یہاں ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھو     ریاضی علامات

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8