لکیری الجبرا/باب 2

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

مُتواقِت لکیری مساوات کا نظام

دو متغیر x اور y میں دو لکیری مساوات کے نظام کی ایک مثال یہ ہے

${\begin{matrix}2x&+&y&=+5\\x&-&2y&=-5\end{matrix}}$

مسئلہ متغیر کی ایسی قیمت نکالنا ہوتا ہے، جو بیک وقت دونوں مساوات کی تسکین کریں۔ ایسی قیمتوں کو نظام کا حل کہا جاتا ہے۔ اس مثال میں x=1, y=3 نظام کا حل ہے۔ تصویر میں دونوں مساوات کے XY پلاٹ نیلی اور سرخ خط (لکیریں) ہیں، اور جہاں یہ دو لکیریں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، وہ نقطہ‭(x,y)=(1,3)‬ ہے۔

n متغیر $\ \{x_{k}\}$ میں n لکیری مساوات کے نظام کو یوں لکھا جاتا ہے، جہاں $\ a_{k,j}$ اور $\ b_{k}$ ساکن ہیں: ${\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots +a_{n,n}x_{n}=b_{n}\end{matrix}}$
انگریزی میں اسے system of simultaneous linear equations کہا جاتا ہے۔

اس نظام کو ایک مصفوفہ مساوات کے بطور لکھا جا سکتا ہے:

$AX=b$

جہاں
$A=\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{matrix}}\right]\,,\,X=\left[{\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right]\,,\,b=\left[{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{matrix}}\right]$

اگر مصفوفہ A کا اُلٹ ممکن ہو، تو اس نظام کے حل کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

$X=A^{-1}b$

اس صورت میں یہ واحد ممکن حل ہو گا۔ یاد رہے کہ مصفوفہ کا اُلٹ اسی وقت ممکن ہوتا ہے جب مصفوفہ کی تمام قطاریں (اور تمام ستون) باہمی لکیری آزاد ہوں۔

n متغیر میں m لکیری مساوات نظام

n متغیر $\ x_{k}$ میں m لکیری مساوات کے نظام کو یوں لکھا جاتا ہے، جہاں $\ a_{k,j}$ اور $\ b_{k}$ ساکن ہیں: ${\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$

تعریف:n متغیر $\ \{x_{k}\}$ کی وہ قیمتیں جو نظام کی تمام m مساوات کی تسکین کریں، کو نظام کا حل کہا جاتا ہے۔

• solution = حل

تعریف: لکیری مساوات نظام کو موافق کہا جاتا ہے اگر اس نظام کا کم از کم ایک حل ممکن ہو۔ اگر کوئی حل ممکن نہ ہو، تو نظام کو ناموافق کہا جاتا ہے۔

• consistent= موافق
• inconsistent= ناموافق

کسی نظام کے حل کی تین صورتٰیں ہو سکتی ہیں:

• کوئی حل ممکن نہ ہو
• ایک اور صرف ایک حل ممکن ہو
• لامحدود حل ممکن ہوں

مثال: نیچے مثال 1 میں دیا تین مساوات کا نظام موافق ہے۔ ہر مساوات کا پلاٹ ایک مستوی ہے جو تصویر میں مختلف رنگوں میں دکھایا گیا ہے۔ صرف ایک نقطہ ایسا ہے جس میں سب تینوں مستوی ملتے ہیں۔ یہ نقطہ اس نظام کا حل ہے جو کہ اس نظام کا واحد حل ہے۔ اگر تین میں سے صرف دو مساوات کا احاطہ کیا جائے، تو تصویر میں کوئی بھی دو مستوی ایک لکیر پر ملتے ہیں، یعنی دونوں مساوات موافق ہیں اور ان کے لامتناہی حل ہیں۔

اب ایسے تین مستوی کا تصور کرنا مشکل نہیں جو سب کسی ایک نقطہ پر نہ ملتے ہوں۔ ان مستوی کی تین مساوات ناموافق ہوں گی، چونکہ ان کا کوئی حل ممکن نہ ہو گا۔

مسلئہ اثباتی

ایک موافق لکیری مساوات کا نظام، جس میں متغیر کی تعداد زیادہ ہو مساوات کی تعداد سے ($\ m<n$)، ایسے نظام کے لامتناہی حل ممکن ہوں گے۔

عمل جن سے نظام متاثر نہیں ہوتا

کسی لکیری مساوات نظام پر مندرجہ ذیل عمل کرنے سے مساوات کے نظام کے حل پر کوئی فرق نہیں پڑتا:

• ایک مساوات کو کسی ساکن عدد سے ضرب دے دو
• دو مساوات کی باہمی جگہ تبدیل کر دو
• ایک مساوات کو کسی ساکن عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب ملے، اسے کسی دوسری مساوات میں جمع کر دو

بطور افزائشی مصفوفہ

مساوات کے نظام کو حل کرنے کی غرض سے ان کو ایک افزائشی مصفوفہ کے بطور لکھنا مفید رہتا ہے۔ افزائشی مصفوفہ یوں ہو گی:

• augmented matrix= افزائشی مصفوفہ

$\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right]$

جو عمل کرنے سے مساوات کے نظام کے حل پر کوئی فرق نہیں پڑتا، کو اب افزائشی مصفوفہ کے حوالے سے یوں بولا جا سکتا ہے:

• ایک قطار کو کسی ساکن عدد سے ضرب دے دو
• دو قطاروں کا باہمی تبادلہ کر دو
• ایک قطار کو کسی ساکن عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسے کسی دوسری قطار میں جمع کر دو

ان عملیات کو ابتدائی قطار عملیات کہا جاتا ہے۔

• elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

مساوات کے حل کی طرف جانے کے لیے افزائشی مصفوفہ کو ابتدائی قطار عملیات کے ذریعہ قطار در قطار ہئیت میں لے جاتے ہیں۔ تعریف: اگر مصفوفہ میں مندرجہ ذیل خصوصیات ہوں، تو مصفوفہ کو قطار در قطار ہئیت کہتے ہیں:

1. اگر قطار سب صفر نہ ہو، تو قطار کا پہلا غیرصفر جُز (بائیں طرف سے) ایک (1) ہو۔ اس 1 کو "اول 1" کہتے ہیں۔
2. اگر کچھ ایسی قطاریں ہو جو تمام صفر ہوں، تو یہ قطاریں سب سے نیچے ہوں
3. کسی بھی دو قطاروں (جو غیر صفر ہوں) میں اوپر والی قطار کا "اول 1" نیچے والی قطار کے "اول "1 کے بائیں طرف ہونا چاہیے۔

• row echelon form=قطار در قطار ہئیت
• leading=اول

مثال کے طور پر مصفوفہ $\left[{\begin{matrix}1&2&7&-3\\0&1&-4&13\\0&0&1&11\end{matrix}}\right]$ قطار در قطار ہئیت میں ہے۔ جب مصفوفہ اس ہئیت میں آ جائے تو نظام کا حل آسانی سے "الٹا تبادلہ" کے ذریعہ نکالا جا سکتا ہے۔

• back substitution=الٹا تبادلہ

اب ہم ایک مثال کے ذریعہ اوپر والے طریقے استعمال کرتے ہوئے لکیری مساوات کا نظام حل کر کے دیکھاتے ہیں:

مثال 1

• تیں متغیر x, y, z میں تین لکیری مساوات کے نظام

${\begin{matrix}2x&+&3y&-&z&=&4\\3x&-&2y&+&4z&=&-1\\5x&+&4y&-&8z&=&3\end{matrix}}$

کو افزائشی مصفوفہ کے بطور لکھو $\left[{\begin{matrix}2&3&-1&4\\3&-2&4&-1\\5&4&-8&3\end{matrix}}\right]$

• مصفوفہ کی پہلی قطار کو 1/2 سے ضرب دو (تو افزائشی مصفوفہ یوں ہو جائے گی)

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\3&-2&4&-1\\5&4&-8&3\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی پہلی قطار کو ‭-3‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے دوسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\0&-13/2&11/2&-7\\5&4&-8&3\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی پہلی قطار کو ‭-5‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسےتیسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\0&-13/2&11/2&-7\\0&-7/2&-11/2&-7\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی دوسری قطار کو ‭-2/13‬ سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\0&1&-11/13&14/13\\0&-7/2&-11/2&-7\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی دوسری قطار کو 7/2 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے تیسیر قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\0&1&-11/13&14/13\\0&0&-110/13&-42/13\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی تیسری قطار کو ‭-13/110‬ سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&2\\0&1&-11/13&14/13\\0&0&1&21/55\end{matrix}}\right]$ اب یہ مصفوفہ قطار در قطار ہئیت میں آ گئی ہے۔ اس مصفوفہ کا نظام یوں لکھا جا سکتا ہے: ${\begin{matrix}x&+&(3/2)y&-&(1/2)z&=&2\\&&y&-&(11/13)z&=&14/13\\&&&&z&=&21/55\end{matrix}}$

• دیکھو کہ آخری مساوات سے ہمیں $z$ کی قیمت معلوم ہو چکی ہے:

$z={\frac {21}{55}}$

اب یہ قیمت ہم دوسری مساوات میں ڈال کر $y$ کی قیمت حاصل کر لیتے ہیں:

$y={\frac {11}{13}}z+{\frac {14}{13}}={\frac {11}{13}}\times {\frac {21}{55}}+{\frac {14}{13}}={\frac {1001}{715}}$

اب $z$ اور $y$ کی قیمتیں پہلی مساوات میں ڈال کر $x$ کی قیمت یوں معلوم ہوتی ہے:

$x=-{\frac {3}{2}}y+{\frac {1}{2}}z-2=-{\frac {3}{2}}\times {\frac {1001}{715}}+{\frac {1}{2}}\times {\frac {21}{55}}-2={\frac {143}{1573}}$

تو پورے لکیری مساوات نظام کا حل یوں ہؤا

$(x,y,z)=\left({\frac {143}{1573}},{\frac {1001}{715}},{\frac {21}{55}}\right)$

یہ ابتدائی قطار عملیات استعمال کرتے ہوئے متواقت لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کا ایک مربوط طریقہ گاسین اخراج کے نام سے مشہور ہے۔

گاسین اخراج

• Gaussian elimination

گاسین اخراج متواقت لکیری مساوات کا نظام کا حل نکالنے کا ایک تیز طریقہ ہے جو اکثر کمپیوٹر کے الخوارزمیہ میں استعمال کیا جاتا ہے۔

n متغیر $\ x_{k}$ میں m متواقت لکیری مساوات کا نظام ، جہاں $\ a_{k,j}$ اور $\ b_{k}$ دائم ہیں: ${\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$
کو بطور افزائشی مصفوفہ یوں لکھا جاتا ہے $\left[{\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}&b_{m}\end{matrix}}\right]$

جو عمل کرنے سے مساوات کے نظام کے حل پر کوئی فرق نہیں پڑتا، ان کو افزائشی مصفوفہ کے حوالے سے یوں بولا جا سکتا ہے:

1. ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دے دو
2. دو قطاروں کا باہمی تبادلہ کر دو
3. ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسے کسی دوسری قطار میں جمع کر دو

ان عملیات کو ابتدائی قطار عملیات کہا جاتا ہے۔

• elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

گاسین اخراج کے طریقہ میں مساوات کے حل کی طرف جانے کے لیے افزائشی مصفوفہ کو ابتدائی قطار عملیات کے ذریعہ ترتیبہ ہئیت میں لے جاتے ہیں۔ تعریف: اگر مصفوفہ میں مندرجہ ذیل خصوصیات ہوں، تو مصفوفہ کو ترتیبہ ہئیت کہتے ہیں:

1. اگر قطار سب صفر نہ ہو، تو قطار کا پہلا غیرصفر جُز (بائیں طرف سے) ایک (1) ہو۔ اس 1 کو "اول 1" کہتے ہیں۔
2. اگر کچھ ایسی قطاریں ہو جو تمام صفر ہوں، تو یہ قطاریں سب سے نیچے ہوں
3. کسی بھی دو قطاروں (جو غیر صفر ہوں) میں اوپر والی قطار کا "اول 1" نیچے والی قطار کے "اول "1 کے بائیں طرف ہونا چاہیے۔

• row echelon form=ترتیبہ ہئیت
• leading=اول

مثال کے طور پر مصفوفہ $\left[{\begin{matrix}1&2&7&-3\\0&1&-4&13\\0&0&1&11\end{matrix}}\right]$ ترتیبہ ہئیت میں ہے۔ جب مصفوفہ اس ہئیت میں آ جائے تو نظام کا حل آسانی سے "الٹا تبادلہ" کے ذریعہ نکالا جا سکتا ہے۔

• back substitution=الٹا تبادلہ

اب ہم ایک مثال کے ذریعہ اوپر والے عملیات استعمال کرتے ہوئے لکیری مساوات کا نظام حل کرنے کا گاسین اخراج کا کا طریقہ سمجھاتے ہیں:

مثال

• تیں متغیر میں تین لکیری مساوات کے نظام

${\begin{matrix}2x_{1}+3x_{2}-x_{3}=4\\3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-1\\-5x_{1}-4x_{2}+8x_{3}=-3\end{matrix}}$ کو افزائشی مصفوفہ کے بطور لکھو $\left[{\begin{matrix}2&3&-1&4\\3&-2&4&-1\\-5&-4&8&-3\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں پہلے ستون (بائیں طرف سے) میں مطلق قدر میں سب سے بڑا عنصر ‭-5‬ ہے۔ اس لیے ہم تیسری قطار کو سب سے اوپر لے آتے ہیں۔ یعنی پہلی اور تیسری قطار کا تبادلہ۔

$\left[{\begin{matrix}-5&-4&8&-3\\2&3&-1&4\\3&-2&4&-1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی پہلی قطار کو ‭-1/5‬ سے ضرب دو (تو افزائشی مصفوفہ یوں ہو جائے گی)

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\3&-2&4&-1\\2&3&-1&4\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی پہلی قطار کو ‭-3‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے دوسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&-22/5&44/5&-14/5\\2&3&-1&4\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی پہلی قطار کو 2 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسےتیسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&-22/5&44/5&-14/5\\0&7/5&11/5&14/5\end{matrix}}\right]$

• اب اوپر کی مصفوفہ میں پہلی قطار کو بھول جاؤ اور اس سے نیچے کی قطاروں کو دیکھو۔ دوسرے ستون میں مطلق قدر میں سب سے بڑی رقم (‭-22/5‬) سب سے اوپر ہے اس لیے ہمیں قطار تبادلہ کرنے کی ضرورت نہیں۔ اوپر کی مصفوفہ کی دوسری قطار کو ‭-5/22‬ سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&7/5&11/5&14/5\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی دوسری قطار کو ‭-7/5‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے تیسیر قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&0&5&21/11\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ کی تیسری قطار کو 1/5 سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&4/5&-8/5&3/5\\0&1&-2&7/11\\0&0&1&21/55\end{matrix}}\right]$ اب یہ مصفوفہ ترتیبہ ہئیت میں آ گئی ہے۔ اس مصفوفہ کا نظام یوں لکھا جا سکتا ہے: ${\begin{matrix}x_{1}&+(4/5)x_{2}&-(8/5)x_{3}&=3/5\\&x_{2}&-2x_{3}&=7/11\\&&x_{3}&=21/55\end{matrix}}$

• دیکھو کہ آخری مساوات سے ہمیں $x_{3}$ کی قیمت معلوم ہو چکی ہے:

$x_{3}={\frac {21}{55}}$

اب یہ قیمت ہم دوسری مساوات میں ڈال کر $x_{2}$ کی قیمت حاصل کر لیتے ہیں:

$x_{2}=2x_{3}+{\frac {7}{11}}=2\times {\frac {21}{55}}+{\frac {7}{11}}={\frac {77}{55}}$

اب $x_{3}$ اور $x_{2}$ کی قیمتیں پہلی مساوات میں ڈال کر $x_{1}$ کی قیمت یوں معلوم ہوتی ہے:

$x_{1}=-{\frac {4}{5}}x_{2}+{\frac {8}{5}}x_{3}+{\frac {3}{5}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {77}{55}}+{\frac {8}{5}}\times {\frac {21}{55}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1}{11}}$

تو پورے لکیری مساوات نظام کا حل یوں ہؤا

$(x_{1},x_{2},x_{3})=\left({\frac {1}{11}},{\frac {77}{55}},{\frac {21}{55}}\right)$

مصفوفہ کا اُلٹ نکالنا

گاسین اخراج جیسے طریقے سے ایک مصفوفہ کا اُلٹ نکالا جا سکتا ہے۔ اس کے لیے $n\times n$ مصفوفہ A کو شناخت مصفوفہ $I_{n}$ کے ساتھ افزائش کر کے لکھتے ہیں $[A|I_{n}]$ پھر اس افزائش مصفوفہ پر یکے بعد دیگرے بنیادی قطار عمل اس طرح کرتے ہیں کہ اس کا روپ $[I_{n}|B]$ جائے۔ اب مصفوفہ A اور B ایک دوسرے کا الٹ ہوں گے۔ یعنی

$B=A^{-1}$

یہ طریقہ ہم ایک مثال کے ذریعہ سمجھاتے ہیں:

مثال

مصفوفہ

$\left[{\begin{matrix}2&3&-1\\3&-2&4\\5&4&-8\end{matrix}}\right]$

کو مقلوب کرنا مقصود ہے۔

• اس کی شناخت مصفوفہ سے افزائش کرتے ہوئے:

$\left[{\begin{matrix}2&3&-1&|&1&0&0\\3&-2&4&|&0&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں پہلی قطار کو 1/2 سے ضرب دے کر

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\3&-2&4&|&0&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں پہلی قطار کو ‭-3‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے دوسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&-13/2&11/2&|&-3/2&1&0\\5&4&-8&|&0&0&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں پہلی قطار کو ‭-5‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے تیسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&-13/2&11/2&|&-3/2&1&0\\0&-7/2&-11/2&|&-5/2&0&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں دوسری قطار کو ‭-2/13‬ سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&-7/2&-11/2&|&-5/2&0&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں دوسری قطار کو 7/2 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے تیسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&0&-110/13&|&-22/13&-7/13&1\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں تیسری قطار کو ‭-13/110‬ سے ضرب دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&-11/13&|&3/13&-2/13&0\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں تیسری قطار کو 11/13 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے دوسری قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&-1/2&|&1/2&0&0\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں تیسری قطار کو 1/2 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے پہلی قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&3/2&0&|&3/5&7/220&-13/220\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اوپر کی مصفوفہ میں دوسری قطار کو ‭-3/2‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے، اسے پہلی قطار میں جمع کر دو

$\left[{\begin{matrix}1&0&0&|&0&2/11&1/11\\0&1&0&|&2/5&-1/10&-1/10\\0&0&1&|&1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

• اب ہمارے پاس بائیں طرف شناخت مصفوفہ آ گئی ہے۔ اس لیے دائیں جانب مصفوفہ

$\left[{\begin{matrix}0&2/11&1/11\\2/5&-1/10&-1/10\\1/5&7/110&-13/110\end{matrix}}\right]$

اصل مصفوفہ کا الٹ ہے۔

نوٹ

اگر کسی مرحلہ پر تمام صفر قطار مل جائے تو اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ مصفوفہ مقلوب نہیں (یعنی الٹ ممکن نہیں)۔

ابتدائی مصفوفہائیں

اوپر ہم نے بنیادی قطار عملیات بیان کیے، جو کی یہ ہیں:

1. ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دے دو
2. دو قطاروں کا باہمی تبادلہ کر دو
3. ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسے کسی دوسری قطار میں جمع کر دو

تعریف: ابتدائی مصفوفہ: ایسی مصفوفہ جو شناخت مصفوفہ پر کوئی بھی ابتدائی قطار عمل سے حاصل ہو کو ابتدائی مصفوفہ کہتے ہیں۔

ابتدائی مصفوفہ کی خوبی یہ ہے کہ اس سے کسی مصفوفہ A" کو ضرب دینے سے مصفوفہ A پر ابتدائی قطار عمل ہو جاتا ہے۔

• مثلاً

$E_{1}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]$

ابتدائی مصفوفہ سے ضرب دینے سے کسی بھی $3\times m$ مصفوفہ کی دوسری قطار 3 سے ضرب کھا جاتی ہے۔

• مثلاً

$E_{2}=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{matrix}}\right]$

ابتدائی مصفوفہ سے ضرب دینے سے کسی بھی $3\times m$ مصفوفہ کی دوسری اور تیسری قطاروں کا باہمی تبادلہ ہو جاتا ہے۔

• مثلاً

$E_{3}=\left[{\begin{matrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]$

ابتدائی مصفوفہ سے ضرب دینے سے کسی بھی $3\times m$ مصفوفہ کی پہلی قطار میں تیسری قطار کا 2 سے حاصل ضرب جمع ہو جاتا ہے۔

• ابتدائی میٹرکس =Elementary matrix

ابتدائ مصفوفہ ہمیشہ مقلوب مصفوفہ ہوتی ہے۔

مصفوفہ الٹ طریقہ کی وجہ

اوپر ہم نے مصفوفہ الٹ نکالنے کا طریقہ بنیادی قطار عملیات کے زریعہ نکالنے کا طریقہ بیان کیا جس میں $n\times n$ میٹرکس A کا الٹ نکالنے کے لیے افزائش مصفوفہ $\ [A|I_{n}]$ پر بنیادی قطار عملیات کیے جاتے ہیں حتی کہ افزائش مصفوفہ کا روپ $\ [I_{n}|B]$ ہو جائے۔ یعنی افزائش مصفوفہ کا A والا حصہ شناختمصفوفہس میں تبدیل ہو جائے۔ اس طریقہ کو ابتدائی مصفوفہ کی مدد سے یوں سمجھا جا سکتا ہے۔ فرض کرو کہ مصفوفہ پر بنیاد قطار عمل ان K ابتدائ مصفوفہ (مصفوفہ جات) سے ضرب کے برابر ہیں:

$\ I_{n}=E_{K}E_{K-1}\cdots E_{1}A$

تو مصفوفہ الجبرا کی رو سے

$\ A^{-1}=E_{K}E_{K-1}\cdots E_{1}I_{n}$

یعنی وہی عمل شناخت مصفوفہ کو A کے الٹ میں بدل دیں گے۔

$E=mc^{2}$     یہاں ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھو     ریاضی علامات

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8