لکیری الجبرا/باب 1

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

مصفوفہ

اردو اصطلاح	English term
مصفوفہ	Matrix

ریاضی میں مصفوفہ اعداد کے مجموعہ کو کہتے ہیں، جو قطاروں اور ستونوں میں سجائے جاتے ہیں۔ اعداد کی قطاریں بائیں سے دائیں جاتی ہیں، جبکہ ستون اوپر سے نیچے۔ مثال کہ طور پر نیچے لکھی مصفوفہ کی چار قطاریں اور تین ستون ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ اس مصفوفہ کا سائیز $\ 4\times 3$ ہے،اور مصفوفہ کے 12 اجزا ہیں۔ $\left[{\begin{matrix}1&3&2\\4&5&8\\12&6&9\\11&10&7\end{matrix}}\right]$

ایک $\ m\times n$ مصفوفہ کو اس طرح لکھا جاتا ہے، یعنی m قطاریں اور n ستون، $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m-1,0}&a_{m-1,1}&\cdots &a_{m-1,n-1}\end{matrix}}\right]$

مصفوفہ جمع اور تفریق

اگر دو مصفوفہ کو جمع کرنا ہو، تو دونوں کا سائیز برابر ہونا چاہیے۔ اسی طرح تفریق کے لیے بھی۔ نیچے جمع اور تفریق کی مثال دی ہے۔ ہر جز اپنے ہم منصب جز کے ساتھ جمع یا تفریق ہوتا ہے۔ $\left[{\begin{matrix}8&-3&-2&1\\-1&1&4&5\\7&0&9&3\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}2&3&4&1\\9&1&-4&3\\-8&1&6&7\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}10&0&2&2\\8&2&0&8\\-1&1&15&10\end{matrix}}\right]$ $\left[{\begin{matrix}8&-3&-2&1\\-1&1&4&5\\7&0&9&3\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}2&3&4&1\\9&1&-4&3\\-8&1&6&7\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}6&-6&-6&0\\-10&0&8&2\\15&-1&3&-4\end{matrix}}\right]$

مصفوفہ ضرب

دو مصفوفہوں کو ضرب دینے کے لیے پہلی مصفوفہ کے ستونوں کی تعداد دوسری مصفوفہ کی قطاروں کے برابر ہونی چاہیے۔ نیچے ہم مصفوفہ A کو مصفوفہ X سے ضرب دے کر مصفوفہ Y حاصل کرتے ہیں۔ $A=\left[{\begin{matrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right],X=\left[{\begin{matrix}x_{00}&x_{01}&x_{02}\\x_{10}&x_{11}&x_{12}\\x_{20}&x_{21}&x_{22}\end{matrix}}\right],$ یہاں دونوں مصفوفہ A اور X مربع مصفوفہ ہیں۔ دونوں کا سائیز $\ 3\times 3$ ہے۔ اسلئے مصفوفہ Y کا سائیز بھی $\ 3\times 3$ ہو گا۔

$Y=AX=\left[{\begin{matrix}y_{00}&y_{01}&y_{02}\\y_{10}&y_{11}&y_{12}\\y_{20}&y_{21}&y_{22}\end{matrix}}\right]$ $Y=\left[{\begin{matrix}a_{00}x_{00}+a_{01}x_{10}+a_{02}x_{20}&a_{00}x_{01}+a_{01}x_{11}+a_{02}x_{21}&a_{00}x_{02}+a_{01}x_{12}+a_{02}x_{22}\\a_{10}x_{00}+a_{11}x_{10}+a_{12}x_{20}&a_{10}x_{01}+a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21}&a_{10}x_{02}+a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22}\\a_{20}x_{00}+a_{21}x_{10}+a_{22}x_{20}&a_{20}x_{01}+a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21}&a_{20}x_{02}+a_{21}x_{12}+a_{22}x_{22}\end{matrix}}\right]$ غور کرنے پر معلوم ہو گا کہ مصفوفہ Y کا ہر جز، مصفوفہ A کی ایک قطار اور مصفوفہ X کے ایک ستون سے ٹکرا کر بنا ہے۔ مثال کے طور پر مصفوفہ Y کا جز $\ y_{00}$ مصفوفہ A کی قطار 0 اور مصفوفہ X کے ستون 0 کے ملاپ سے بنا ہے ۔ اسی طرح جز $\ y_{12}$ مصفوفہ A کی قطار 1 اور مصفوفہ X کے ستون 2 کے ساتھ اس طرح بنا ہے: $y_{12}=\left[{\begin{matrix}a_{10}&a_{11}&a_{12}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x_{02}\\x_{12}\\x_{22}\end{matrix}}\right]=a_{10}x_{02}+a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22}$ یک قطاری یا یک ستونی مصفوفہ کو سمتیہ (باب 4) بھی کہا جاتا ہے۔ ایک $\ m\times n$ سائیز کی مصفوفہ کو ایک $\ n\times r$ سائیز کی مصفوفہ سے ضرب دینے سے $\ m\times r$ سائیز کی مصفوفہ نکلے گی۔ یاد رکھو کہ مصفوفہ ضرب میں عموماً $\ AB\neq BA$

شناخت مصفوفہ

شناخت مصفوفہ کو ریاضی میں خاص مقام حاصل ہے۔ یہ ایسی مصفوفہ ہے جس کے بائیں سے دائیں آر پار جز 1 ہوں، اور اس کے علاوہ باقی جز 0 ہوں۔ ایک $\ n\times n$ شناخت مصفوفہ کو یوں لکھیں گے: $I_{n}=\left[{\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{matrix}}\right]$ شناخت مصفوفہ ہمیشہ مربع مصفوفہ ہوتی ہے۔ عام ریاضی میں یہ نمبر 1 سے مماثلت رکھتی ہے۔

مصفوفہ کی طاقت

مربع مصفوفہ کی طاقت بھی مصفوفہ ضرب کے ذریعہ تعریف ہوتی ہے، مثلاً $n\times n$ مربع مصفوفہ A کے لیے

$A^{2}=AA$

اس طرح کسی مثبت صحیح عدد $k>0$ کے لیے

$A^{k}=A\cdots {\hbox{k times}}\cdots A$

اور $k=0$ کے لیے یہ شناخت مصفوفہ کے برابر ہو گا

$A^{0}=I_{n}$

مصفوفہ کا اُلٹ (مقلوب مصفوفہ)

آپ سوچ رہے ہو گے کہ کیا مصفوفہ تقسیم بھی ممکن ہے؟ اسے سمجھنے کے لیے عام اعداد کی تقسیم پر غور کرو: $\ {\frac {a}{a}}=a{\frac {1}{a}}=aa^{-1}=1$ یعنی عدد $\ a$ کا الٹ عدد $\ a^{-1}$ ہے، ان دونوں اعداد کو ضرب دینے سے عدد 1 حاصل ہوتا ہے۔ اسی طرح $\ n\times n$ سائیز کی مصفوفہ $\ A$ کا الٹ مصفوفہ $\ A^{-1}$ ہو گی، جس کا سائیز بھی $\ n\times n$ ہو گا، جب ان دونوں مصفوفہوں کو ضرب دینے سے شناخت مصفوفہ حاصل ہو۔ یعنی $\ AA^{-1}=I_{n}$ صرف مربع مصفوفہ کا الٹ ممکن ہے، مگر ہر مربع مصفوفہ کا الٹ ممکن نہیں۔ جس مربع مصفوفہ کی قطاریں باہمی آزاد ہوں (اور ستون آپس میں باہمی آزاد ہوں)، صرف ایسی مصفوفہ کو الٹایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر مصفوفہ $\left[{\begin{matrix}1&-1&3\\-2&3&7\\-1&2&10\end{matrix}}\right]$ کی تیسری قطار، پہلی دو قطاروں کو جمع کر کے بنی ہے، اس وجہ سے تیسری قطار پہلی دو قطاروں سے آزاد نہیں۔ اس لیے اس مصفوفہ کو الٹانا ممکن نہیں۔

مصفوفہ الجبرا

مٰیٹرکس A، B، C، جن کا سائیز $\ n\times m$ ہو، اور r، s، عام عدد ہوں ($\mathbb {R}$ یا $\mathbb {C}$ میں) ، اور O ایک سائیز $\ n\times m$ کی مصفوفہ ہو جس کے تمام جُز صفر ہوں، تو مندرجہ ذیل سچ ہونگے

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + O = A
4. A + (-A) = O
5. (rs) A = r (sA)
6. ‭(r + s) A = rA + sA‬
7. r (A + B) = rA + rB
8. ‭1 A = A‬

اس سے یہ نتیجہ نکالا جا سکتا ہے کہ مصفوفہ جن کا سائیز$\ n\times m$ ہو، اور ان کے جُز $\mathbb {R}$ یا $\mathbb {C}$ میدان میں سے ہوں، کا مجموعہ سمتیہ فضا ہونے کی تمام شرائط پوری کرتا ہے۔

اس کے علاوہ جب مصفوفہ کے سائیز ایسے ہوں کہ مصفوفہ ضرب ممکن ہو تو یہ سچ ہو گا (یاد رہے کہ ایک $\ m\times r$مصفوفہ اور ایک $\ r\times n$ مصفوفہ کی ضرب سے نکلنے والی مصفوفہ کا سائیز $\ m\times n$ ہوتا ہے)

1. (AB)C = A(BC)
2. A(B+C) = AB + AC
3. ‭(A+B)C = AC + BC‬
4. ‭r (AB) = (rA)B = A(rB)‬

مصفوفہ کا رتبہ

مصفوفہ کا رتبہ اس میں باہمی لکیری آزاد قطاروں کی تعداد، یا اس میں باہمی لکیری آزاد ستونوں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ ایک مصفوفہ کا زیادہ سے زیادہ رُتبہ اس کی قطاروں کی تعداد، یا ستونوں کی تعداد، (جو تعداد کم ہو) کے برابر ہو سکتا ہے۔

مصفوفہ ضرب بطور دالہ

مصفوفہ ضرب لکیری دالہ بنانے میں کام آتی ہے۔ n رُخی فضا میں کسی بھی نقطہ کو n اصلی اعداد (میدان $\mathbb {R}$) پر مشتمل سمتیہ سے لکھا جاتا ہے۔ یعنی ہر نقطہ ایک $\ n\times 1$ مصفوفہ کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ نکات $\mathbb {R} ^{n}$ فضا میں ہیں۔ اس فضا کے ایک نقطہ X کو ہم یوں لکھ سکتے ہیں:

$X=\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]\,\,,\,x_{k}\in \mathbb {R}$

اب اس نقطہ X کو ایک مصفوفہ A سے ضرب دے کر نقطہ Y حاصل ہوتا ہے۔ نقطہ Y، m رُخی فضا میں ہے۔ مصفوفہ ضرب دالہ کا کام کرتی ہے۔ دالہ کو عموماً $\ f(.)$ سے ظاہر کرتے ہیں:
$\ Y=f(X)=AX$
یا تفصیلاً

$\left[{\begin{matrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{m-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m-1,0}&a_{m-1,1}&\cdots &a_{m-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]$

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ مصفوفہ ضرب ایک لکیری استحالہ کا کام کرتی ہے:

${\begin{matrix}f(\alpha U+\beta V)&=&A(\alpha U+\beta V)\\&=&\alpha AU+\beta AV\\&=&\alpha f(U)+\beta f(V)\,,\,\,\,\,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \end{matrix}}$

زیادہ دلچسپ صورت اس وقت ہوتی ہے جب مصفوفہ مربع ہو، یعنی نکات $\mathbb {R} ^{n}$ سے $\mathbb {R} ^{n}$ میں جا رہے ہوں۔ اب ہم $\mathbb {R} ^{2}$ سے $\mathbb {R} ^{2}$ کی مثال لیتے ہیں، یعنی مصفوفہ کا سائیز $\ 2\times 2$ ہے، اور یہ دو رُخی فضا، مثال کے طور پر سکرین کی سطح کو ظاہر کرتی ہے۔

مثال

مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}2&1\\0&1\end{matrix}}\right]$ سکرین پر عمودی (vertical) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے، اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے، جبکہ مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}1&0\\1&2\end{matrix}}\right]$ سکرین پر افقی (horizontal) لکیروں کو ترچھا کرتی ہے، اور ان کے درمیان فاصلے بڑھاتی ہے۔ جبکہ مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}}\right]$ دونوں اطراف کی لکیروں کو ترچھا کرتی ہے۔ $\left[{\begin{matrix}y_{0}\\y_{1}\end{matrix}}\right]=f\left(\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\end{matrix}}\right]\right)=\left[{\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\end{matrix}}\right]$

ملاحظہ ہو۔ پہلی تصویر (نیلا رنگ) میں مربع تانا بانا دکھایا گیا ہے۔ ان نکات کو مصفوفہ سے ضرب دے کر دوسری تصویر (سرخ رنگ) میں ترچھے تانا بانا حاصل ہوتا ہے۔ دیکھو کہ ایک مربع بدل جاتا ہے پیرللوگرام (parallelogram) میں ( تصاویر میں کالے ڈبے)۔

مصفوفہ ضرب بطور لکیری دالہ

${\begin{matrix}f(.)\\\longrightarrow \end{matrix}}$

اگر پہلی تصویر میں دالہ کے ساحہ (domain) کے کالے ڈبے کے نکات S کو کہا جائے، تو دوسری تصویر میں دالہ کے حیطہ (range) میں کالے ڈبے کے نکات ‭f(S)‬ ہوں گے۔ ان دونوں کالے ڈبوں کا رقبہ مصفوفہ A کے دترمینان (باب 3) کی تناسب سے ہوتا ہے:
${\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(S)}{\mathrm {Area\ of\ } S}}=|\det(A)|=|2\times 2-1\times 1|=3$

تجزیہ نہیں کر پایا (PNG یا SVG کے ساتھ MathML (جدید براؤزر وغیرہ کے لیے اسے استعمال کرنے کی سفارش کی جاتی ہے): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/ur.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle صیغہ یہاں درج کیجئے} === مثال: گھماؤ=== گھماؤ مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]$
$\ \mathbb {R} ^{2}$ میں نکات کو مبدا (origin) کے گرد زاویہ $\ \theta$ سے اُلٹی گھڑی کی سمت گھما دیتی ہے۔ ملاحظہ ہو $\ \theta =\pi /2$ کے لیے 90 درجے کے زاویہ سے مبداء کے گِرد گھمانا (مبداء سے مراد نکتہ (0,0) ہے)۔ تصویر میں نیلے رنگ کے نکات کو مصفوفہ سے ضرب دے کر سرخ رنگ کے نکات حاصل ہوتے ہیں۔

نوٹ: تصاویر کا W:ur:سائیلیب سکرپٹ دیکھنے کے لیے تصاویر پر کلک کرو۔

Matrix

$E=mc^{2}$     یہاں ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھو     ریاضی علامات

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8